伽罗瓦和他的对称研究

考古证据表明，在公元前 2000 年左右，古巴比伦人就已经会用根式求解一元二次方程了；3000 多年后的文艺复兴时期，意大利数学家给出了三次方程的求根公式；至 16 世纪中叶，用根式求解四次及四次以下方程的问题都获得了圆满解决。

数学家们信心十足，已经对攻克五次和五次以上方程的根式解跃跃欲试。

但此后三百年，都无人夺得这一数学界的“圣杯”。人们开始怀疑：是否从一开始思路就错了？

1824 ~ 1826 年间，年轻的挪威数学家阿贝尔 (Niels Henrik Abel, 1802-1829) 严格证明了：对五次和五次以上的一般方程，不存在根式解。这就相当于三百年悬而未决的问题由阿贝尔解决了。他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。

在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是，什么样的特殊方程能够用根式求解？这个问题稍后被同样年轻、才华横溢的数学家伽罗瓦解决了。而对方程的根式可解问题的研究直接导致了群论的建立。

一门关于对称的学问

让我们从一个非空集合开始。

假设这个非空集合是整数集 \mathbb{Z}，它包含全体整数，因此有无限个元素。在整数集上可以应用加法运算，比如 1+1、3+2、(-7)+5……加法是一个二元运算，并且需要有左右两个元素才能做加法运算，这都是显而易见的。

因此，我们得出：加法（+）是一个定义在整数集 \mathbb{Z} 上的二元运算。同理，减法（-）、乘法（\times）和除法（\div）也都是定义在 \mathbb{Z} 上的二元运算。

对于整数集上的加法，下面这些规律也都是显而易见的：

1. 一个整数与另一个整数的加法运算仍然得到整数。
2. 整数加法满足结合律。
3. 任何一个整数与 0 相加，结果还是这个整数；0 与任何一个整数相加，结果还是这个整数。
4. 对于任何一个整数，总能找到另一个整数，使得它们相加结果是 0。

似乎很简单，不是吗？

而且你还知道，只要稍稍变更一下这套规则，那么对正有理数集 \mathbb{Q}^* 上的乘法也是适用的：

1. 一个正有理数与另一个正有理数的乘法运算仍然得到正有理数。
2. 正有理数乘法满足结合律。
3. 任何一个正有理数与 1 相乘，结果还是这个正有理数；1 与任何一个正有理数相乘，结果还是这个正有理数。
4. 对于任何一个正有理数，总能找到另一个正有理数，使得它们相乘结果是 1。

类似的现象还有很多，让我举一个几何图形的例子：

这里有一个正三角形，它的三个顶点均已编号 a,b,c。接着我们定义几种操作：

• 旋转操作 \rho：将正三角形绕中心逆时针旋转。\rho_1 是逆时针旋转 120^\circ；\rho_2 是逆时针旋转 240^\circ。

• 反射操作 r：将正三角形关于它的其中一条中线进行“翻转”。如果作为转轴的这条中线经过点 a，则记作 r_1；作为转轴的这条中线经过点 b，则记作 r_2；作为转轴的这条中线经过点 c，则记作 r_3。假设初始状态分别如图所示，那么进行特定反射操作后各自得到的结果是：

• 恒等变换操作 e：每次操作都保持正三角形的当前状态不变。简而言之就是不做任何变换。

现在我们把以上操作看成是某个集合中的元素，而将操作的合成看作是类似乘法的“运算”。在初始状态下先进行一次 r_1 操作，后进行一次 \rho_2 操作，得到的运算结果就记为 \rho_2 r_1；在初始状态下先进行一次 \rho_2 再进行一次 r_3 最后进行一次 e，得到的结果记为 e r_3 \rho_2；以此类推。也就是说，这种二元运算先做右边的变换，再做左边的变换：xy 就是先进行操作 y 后进行操作 x。

我们把这六种操作（\rho_1, \rho_2, r_1, r_2, r_3, e）放入一个集合，然后将操作的先后合成看作是定义在其上的运算。让我们检验一下之前的四条结论是否还成立：

1. 对于任意两种操作的合成的运算结果，一定和这六种操作的结果之一相同。

   不相信？你可以拿出纸笔画一个三角形推演一遍 \rho_2 r_1，看看它的结果和 r_2 是否一样。同样地，你举出任意一个例子，我都保证它的结果一定和集合中的某个操作结果一样。

   由于集合的元素个数有限，我们可以穷举出所有的二元运算结果，可以证明这条结论是成立的。

2. 这种合成运算是满足结合律的。

   同样由于元素个数有限，理论上可以列举所有的情况并一一判定。事实是这一条也是正确的。

3. 任何一种操作与 e 合成的结果，都等同于该操作自身的结果；反之亦然。

   这条结论比较明显，毕竟 e 代表“什么都不做”，不论先进行 e 还是后进行 e，都不影响结果。

4. 对于任何一种操作，总能找到另一种操作，使得它们合成的结果是 e 的结果（也即初始状态）。

   依然可以通过穷举证明它是成立的。

前面举这些例子，你会发现在迥然不同的领域居然存在着相似的规律！这种奇妙的关联促使人们思考隐藏在其中的共性。由此，数学家抽象出一种叫“群”的概念，并发展成一整套关于群的理论——群论（Group theory）。

一个群（group）是一个非空集合 G，带有一个运算 *，满足以下四条：

1. 封闭性：\forall a, b \in G,\; a * b \in G
2. 结合律：\forall a, b, c \in G,\; (a * b) * c = a * (b * c)
3. 一定存在单位元：\exists e \in G,\; \forall a \in G,\; e * a = a * e = a
4. 一定存在逆元：\forall a \in G,\; \exists a^{-1} \in G,\; a * a^{-1} = a^{-1} * a = e

按照这个概念，我们顺理成章得出：

• 整数集和定义在其上的加法构成了一个群。这个群称为整数加法群，记作 (\mathbb{Z}, +)。单位元为 0，逆元为相反数。
• 正有理数集和定义在其上的乘法构成了一个群。记作 (\mathbb{Q}^*, \times)。单位元为 1，逆元为倒数。
• 正三角形的操作集合和定义在其上的操作合成运算构成了一个群。这个群称为正三角形对称群，一般记作 (D_3, \cdot)。单位元为恒等变换 e，逆元为反向旋转或自身反射。

群论就是围绕像群这样抽象的代数结构发展而来的理论。现实中的群论不仅是数学学科各分支的“利器”，还在物理、化学等领域有诸多应用：

• 微观层面，组成物质的分子往往具有某些对称结构，化学家可以利用群论来对分子形成的结构进行剖析，这在分子光谱、化学键理论中极为重要。
• 构成晶体的微观粒子会呈现出完美的几何对称，想要建立对应的模型需要群论的知识。

由于对群的最初研究正源于对称现象本质的探寻，而群论的不少结果也与对称息息相关，因此群论也被称为是“刻画对称”的数学。

让我们回到最初的话题——方程的根式解。年轻的数学家伽罗瓦融会贯通前人的思想，站在巨人的肩膀上，他观察到方程根的置换关系，并把每个方程都与一个置换群（伽罗瓦群）联系起来，从而创造性地将代数方程的可解性问题转化为群论问题，最终为这一困扰数学家几个世纪的难题画上了漂亮而圆满的句号。

埃瓦里斯特·伽罗瓦

与这套理论的宏大恰恰相反，创立它的伽罗瓦本人并不是什么德高望重、著述等身的数学家，而是一位生前籍籍无名、甚至曾锒铛入狱的青年学生。

埃瓦里斯特·伽罗瓦 (Évariste Galois, 1811-1832) 出生在法国一个拥护共和的知识分子家庭，是三个孩子中的第二个。其父曾担任地方自由派领导人；其母出身律师、法官之家。早年间，他的教育完全由母亲负责，由于母亲受过良好的教育，是位严厉、聪颖且有教养的女性，这为他后面进入学校学习打下坚实的知识基础。

1823 年，伽罗瓦进入巴黎著名的路易皇家中学就读。起初，他在拉丁语和希腊语方面表现优异并获得过奖项。然而到了二年级，他的成绩开始下滑。校长曾建议他留级，但他的家庭拒绝了。1826 年开始实施的教育改革，让这所中学的二年级生需要学习更多的数学知识。从此伽罗瓦开始对数学表现出极度的痴迷。他如饥似渴地学习勒让德的《几何学原理》，年底时他在数学课上获得第二名，并在综合竞赛中获得第一名。对数学的狂热支配了他，他开始直接阅读拉格朗日、勒让德、阿贝尔等数学大师的艰深著作。少年的老师显然也发现了这位日后的天才对数学的满腔热情，认为让他专注于数学这门学科会更好，不过伽罗瓦的父母可能依然希望他继续人文学科的学习。

学年结束时，他第一次参加进入高等理工学院的入学考试，但失败了。原因可能在于他没有接受过系统性的口试训练。成绩单上，老师们记录下他除数学外其他科目糟糕的成绩，以及他那“乖僻、古怪”的性格举止。也是从那时起，伽罗瓦开始研究用根式解代数方程。据说 16 岁时伽罗瓦已经认为自己找到了五次方程的一般解法，后面他意识到这是错误的。

伽罗瓦在 1828 年秋季放弃了人文学科的学习，他继续只对数学感兴趣，并且直接跳过初等数学班，进入了高等数学班。这位少年的导师非常欣赏他的才华，在数学上给予了他很大帮助。1829 年 4 月，伽罗瓦发表了他的第一篇文章。一段时间后，伽罗瓦成功通过了巴黎高等师范学院预备班的入学考试。

然而命运并没有给这颗冉冉升起的数学新星以好脸色，其学术生涯的起点多舛。同是 1829 年，伽罗瓦向法国科学院提交了自己关于代数方程解的研究成果，由大数学家柯西负责审阅。柯西显然对这项工作饶有兴趣，并两度向科学院介绍了这些论文。遗憾的是稿件后面遭遗失，整件事也不了了之。

1829 年 7 月，伽罗瓦在了解到同时代阿贝尔的工作后，发现后者得出了与自己第一篇论文中某些论点相似的结论。可能是在柯西的建议下，他于 1830 年 2 月向科学院提交了一篇题为《论方程根式可解性的条件》的论文，以角逐 1830 年 6 月的数学大奖。然而不幸再次降临在这个年轻人头上，法兰西研究院的数学大奖最终被追授给了阿贝尔（阿贝尔本人此前已于贫病交加中离世），以及卡尔·雅可比。伽罗瓦惊讶于自己的论文竟未被提及，随后他才得知，原来负责审阅该论文的傅立叶已于同年 5 月 16 日去世，而这篇论文在傅立叶的遗稿中未能找到。这对伽罗瓦来说是一次巨大的打击。论文的遗失令他愤怒，加剧了他那种被当时学界权威迫害的感觉。

不久之后，伽罗瓦再次参加高等理工学院的入学考试，但第二次又失败了。或许这加深了他对权威与既定秩序的反抗情绪。

学年末，来自家庭的悲剧猝不及防地降临。他的父亲——一位深受市民爱戴的市长——遭到教区保皇派神父和议员的诽谤攻击。最终，他在巴黎的公寓里自杀身亡。这给伽罗瓦带来了毁灭性的打击，也成了他人生的根本转折点。在父亲悲剧的影响下，伽罗瓦对旧制度的憎恨达到了顶点。他开始热衷于参与政治活动，并加入了某些激进团体。

这一时期，法国的时局同样动荡不安。1830 年七月革命爆发，波旁王朝的统治者查理十世被推翻，整个首都炮火纷飞，一名巴黎高师的毕业生在混乱中被杀。学校领导随后封闭了校园，不准许学生外出抗议，而这激化了伽罗瓦对学校的不满。他在报纸上猛烈抨击这一做法，并与该校校长发生了争执。不出意外，他旋即被巴黎高师开除。

走上街头的伽罗瓦加入了巴黎国民卫队的炮兵部队，他依然在给报纸撰文，言辞激烈地批判现行教育制度。其激进言行很快为他带来了牢狱之灾。在 1831 年 5 月的一场宴会上，伽罗瓦持刀祝酒的行为公开挑衅了当时的新任君主。第二天他便因煽动弑君罪被逮捕，不过法庭最终判决他无罪释放。同年 7 月，共和派组织了一场示威游行，伽罗瓦参与其中。由于政府在前一天对此发布了禁令，且当时伽罗瓦身穿炮兵制服携带武器，很快他就再次被捕，这次没人能救他了。上诉失败后，伽罗瓦获刑六个月。

热衷政治的同时，他依然心系数学研究。应西梅翁·泊松的要求，伽罗瓦重新撰写了一版论文，泊松于 1 月 17 日将其提交给科学院，并受命与拉克鲁瓦一同审查该论文。1831 年 7 月，泊松与拉克鲁瓦就伽罗瓦的论文提交了报告。该报告的结论是不建议发表，这无疑是对当时身陷囹圄的论文作者的又一重打击。事实上泊松的报告本意是希望伽罗瓦进一步发展其理论，其应该被视作一种鼓励而非批判，当然这已经于事无补了。

来年 3 月，法国爆发霍乱。伽罗瓦被从监狱转移到了一所疗养院，并在那里邂逅了一位年轻女子。他深深爱上了她，尽管这段爱情似乎并不幸福，也未得善终。5 月，他卷入了一场至今仍是谜一样的决斗。1832 年 5 月 30 日，伽罗瓦在决斗中腹部中弹，被路人发现后送往医院，次日便因伤重不治，享年 20 岁。

尾声

决斗前夜，兴许是预见了自己将死，他在给朋友 Auguste Chevalier 的绝笔信中将自己的研究成果一五一十记录下来，并希望朋友能代他把这些心血寄给弗里德里希·高斯和卡尔·雅可比，以证明这些研究的价值。

但事与愿违，伽罗瓦的遗稿寄出后便石沉大海。事实上，即便是他在世时，很多数学大师都不能理解他的工作。他的论文因此得不到发表，且在此后很长一段时间内一直被看作是“天书”。直至 1846 年，数学家刘维尔重新整理并将他的理论发表在《纯粹与应用数学杂志》上，这才引起了一些数学家的关注。此时，距离伽罗瓦本人逝世已是十年有余了。

1832 年 6 月 2 日，埃瓦里斯特·伽罗瓦安葬于蒙帕纳斯公墓的一处普通墓穴中，确切位置亦未知。在他的家乡，人们为这位英年早逝的天才竖立起一座纪念碑，毗邻着他父亲——同为一位共和主义者——的墓。

……

那封绝笔信的最后，伽罗瓦写下这么一段话：

Après cela il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.（“此后，愿有来者能于这片芜杂中寻得真义，并有所获。”）

正如我们前面所见到的，他做到了。

参考资料

• 法语维基百科 Évariste Galois 条目
• 普通高中课程标准实验教科书 数学（选修 3-4 A 版）：对称与群